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一、介绍

代数是纯数学领域的一个重要分支, 法国数学家Galois在1832年运用群的思想解决了多项式方程求根公式的存在性问题, 使得代数学成为了研究代数结构的科学, 进而把代数学推向了抽象代数时期（也称为近世代数）^[1].

《抽象代数》是本科数学与应用数学专业的重要专业课之一,通过讲解群、环、域^[2]等知识, 使学生学到代数学核心内容的同时,在抽象性以及严谨性上得到一定的思维训练.本文主要从教学设计的角度给出基于Galois理论对《抽象代数》本科教学进行改革的若干策略.

二、Galois理论回顾

Galois理论的重要应用之一是一元五次方程求根公式的存在性问题^[3-4].先给出一些相关的引理. .

引理1^[5] 如果从到的域扩张对应的Galois群是可解的, 那么存在不变子群,使得, 并且每一个商群都是交换群.

引理 2^[5] 记一元五次方程根所在的域为,则所有从到的域扩张对应的Galois群是.记为中所有偶置换构成的集合,则不是交换群,并且是唯一的不变子群链.

用Galois理论讨论一元五次方程求根公式存在性问题的基本思路为：(I)为了找到方程的解(不在中),需要对进行域扩张;(II)多项式的零点具有某种对称性,而这种对称性可以用群来描述,进一步可以等价地用域扩张的对称性来描述;(III)只通过加减乘除无法得到的域扩张,而通过开方得到的域扩张具有某种对称性,即对应的Galois群是可解的;(IV)根据引理1和引理2,一元五次方程的根所对应的Galois群是不可解的,因此只通过加减乘除和开方运算是不能从扩张到包含五次方程解的域,再根据Galois对应的定义, 即得一元五次方程求根公式是不存在的.

三、基于Galois理论的教学策略实施

从Galois理论在一元五次方程求根公式存在性问题中的探讨思路可见,整个过程涉及的群、环、域的相关基础知识包括了：(I)域扩张；(II)群的定义；(III)对称群；(IV) 不变子群、置换群、群同构、商群.可见,Galois理论覆盖了抽象代数的主要常规教学内容,并且把对称性、不变子群、商群、同构等抽象的概念有机地串联了起来.考虑在每一章节常规的教学内容中为Galois理论的引入做适当铺垫,尽量压缩跟Galois理论关联较少的知识教学时间,最后再利用2个课时对Galois理论进行介绍,可以帮助学生更好地理解《抽象代数》课程的核心理论.

（一）课程总览

 在《抽象代数》的课程介绍中,一般会提到Galois理论的历史.为了配合后续融合Galois理论思想的教学模式,需要额外介绍一元五次方程求根公式的数学问题.由于是第一次课, 学生尚不具备任何抽象代数知识,因此问题介绍尽量不涉及课程的专业术语,多从“什么是求根公式？”、“一元二次、三次、四次方程的求根公式是什么？”等简单话题展开, 先通俗粗糙地展示Galois理论的框架,以问题驱动的方式激发学生的学习兴趣.

（二）群的教学

在学习完群的定义后,常规教学过程会给出几个群的简单实例, 虽然这严格遵循了代数的抽象定义体系,但由于各实例有一定的独立性,导致大部分学生对该定义的理解往往是一种机械的模式.为了后续Galois理论的需要,由上节的步骤(II),引入对称操作构成的群作为实例之一,并给学生强调该实例是跟求根公式探讨直接相关的例子.

对于对称群、置换群、不变子群、商群这些引申概念的讲解,在展示各个概念的定义之前,先结合后续求根公式存在性的推导过程,适当突出各概念在Galois理论中所涉及的性质.在对称群和置换群的教学中,虽然概念的构造比较简单,但为何特别要关注交换律而不是其他运算律, 为何要关注置换构成的群, 是部分学生可能产生的疑问,由上节步骤(III)可见,在教学中强调此处和Galois理论相关,即可马上消除学生的疑问.在不变子群和商群的教学中,部分学生难以理解为何要去学习这么“特殊”的群, 同理,由上节步骤(IV),强调两个概念都是后续Galois理论要使用的,让学生先掌握纯数学的抽象定义, 并且期待后续相关概念的融合.

对于群同构的教学,为何要讨论抽象概念之间的抽象关系,是学生在学习过程中可能产生的疑惑.由上节步骤(IV), 群同构是为Galois理论分析“对称操作构成的群”内在性质做铺垫的,同构关系把群的特殊性抽象出来,同时可以回应群论的定理：“任意的群都同构于一个变换群”,帮助学生把所学的知识阶段性地串联起来.

（三）环和域的教学

Galois理论跟环论并无直接关联,因此,环论的教学策略可采用常规教学的模式.对于域的教学,常规的方式一般会在域的定义上花较多的时间,然后再简单介绍域的性质. 结合Galois理论的需要,在教学中更重视域的性质,即该集合的元素在加减乘除四则运算下是封闭的.在寻找一元五次方程求根公式时,正是因为有理数域在四则运算下是封闭的, 才有引入域扩张的必要性,因此关注域的上述特殊性质是有必要的.

对于域扩张理论(I), 由于扩域的知识一般不在本科《抽象代数》课的教学大纲内,考虑到整体课程的学时安排,对这部分知识的教学,还是按大纲要求进行, 不去详细讲解.由于求根公式问题只涉及域扩张的简单实例,而该实例只涉及整环和域的定义,因此可在讲解时引入有理数域扩展的实例,并强调该实例与Galois理论相关即可.

（四）Galois理论介绍

在常规内容的教学中,压缩跟Galois理论关联较少的群、环、域知识,在不超过课程总学时的前提下,用2个课时的时间给学生介绍Galois理论的推导思路.对于过程中的细节处理,需要关键的引理1和引理2,注意到这两个引理是超出本科教学范围要求的,由于课时有限,可采用忽略证明只介绍理论结果的方式进行.对于引理3,内容在本科教学的范围内, 其细节推导可设置为讲解不变子群和置换群后的课堂作业.

四、小结

根据抽象代数的历史由来,以一元五次方程求根公式存在性问题为驱动, 把Galois理论的思想渗透在《抽象代数》相关内容的教学过程中,给出相应的教学策略, 把群、环、域等主体知识有机地串联起来,激发学生的学习兴趣,能有效地改善教学效果.